Ekstensi bidang

Dalam matematika, khususnya dalam aljabar, ekstensi bidang adalah sepasang bidang $E\subseteq F,$ sedemikian rupa sehingga operasi E adalah operasi F dibatasi hingga E . Pada kasus ini, F adalah 'bidang ekstensi' dari E dan E adalah subbidang dari F .^[1]^[2]^[3] Misalnya, di bawah pengertian umum penambahan dan perkalian, bilangan kompleks adalah bidang ekstensi dari bilangan riil; bilangan real adalah subbidang dari bilangan kompleks.

Perluasan bidang sangat penting dalam teori bilangan aljabar, dan dalam studi akar polinomial hingga teori Galois, dan banyak digunakan dalam geometri aljabar.

Peringatan

Notasi L / K murni formal dan tidak menyiratkan pembentukan cincin hasil bagi atau grup hasil bagi atau jenis pembagian lainnya. Sebaliknya garis miring mengungkapkan kata "berakhir". Dalam beberapa literatur digunakan notasi L : K .

Sering kali diinginkan untuk membicarakan tentang perluasan bidang dalam situasi di mana bidang kecil sebenarnya tidak terkandung dalam bidang yang lebih besar, tetapi secara alami tertanam. Untuk tujuan ini, seseorang secara abstrak mendefinisikan ekstensi bidang sebagai injeksi gelanggang homomorfisma antara dua bidang. Setiap homomorfisme cincin bukan-nol antara bidang bersifat injektif karena bidang tidak memiliki cita-cita nontrivial yang tepat, sehingga ekstensi bidang justru merupakan morfisme dalam kategori bidang

Untuk selanjutnya, kami akan menekan homomorfisme injeksi dan menganggap bahwa kami berurusan dengan subbidang yang sebenarnya.

Contoh

Bidang bilangan kompleks $\mathbb {C}$ adalah bidang ekstensi dari bidang bilangan riil $\mathbb {R} ,$ dan $\mathbb {R}$ pada gilirannya adalah bidang perpanjangan dari bidang bilangan rasional $\mathbb {Q} .$ Jelaslah, $\mathbb {C} /\mathbb {Q}$ juga merupakan ekstensi lapangan. Kita punya $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$ karena $\{1,i\}$ adalah dasar, jadi perpanjangannya $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ terbatas. Ini adalah ekstensi sederhana karena $\mathbb {C} =\mathbb {R} (i).$ $[\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]={\mathfrak {c}}$ (the kardinalitas kontinum), jadi perluasan ini tidak terbatas.

Bidang

\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\left.\left\{a+b{\sqrt {2}}\right|a,b\in \mathbb {Q} \right\},

adalah bidang ekstensi dari $\mathbb {Q} ,$ juga jelas merupakan ekstensi sederhana. Derajatnya 2 karena $\{1,{\sqrt {2}}\}$ bisa menjadi dasar.

Bidang

{\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})({\sqrt {3}})\\&=\left.\left\{a+b{\sqrt {3}}\right|a,b\in \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\right\}\\&=\left.\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\right|a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\},\end{aligned}}

adalah bidang ekstensi dari keduanya $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ dan $\mathbb {Q} ,$ derajat 2 dan 4 masing-masing. Ini juga merupakan ekstensi sederhana, seperti yang dapat ditunjukkan

{\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})\\&=\left.\left\{a+b({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})+c({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}+d({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{3}\right|a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}.\end{aligned}}

Ekstensi terbatas dari $\mathbb {Q}$ juga disebut bidang bilangan aljabar dan penting dalam teori bilangan. Bidang ekstensi lain dari rasional, yang juga penting dalam teori bilangan, meskipun bukan perluasan hingga, adalah bidang bilangan p-adic $\mathbb {Q} _{p}$ untuk bilangan prima p .

Generalisasi

Ekstensi bidang dapat digeneralisasikan menjadi cincin ekstensi yang terdiri dari cincin dan salah satu subgelanggang nya. Analog non-komutatif yang lebih dekat adalah aljabar sederhana pusat s (CSA) - ekstensi cincin di atas bidang, yang merupakan aljabar sederhana (tidak ada cita-cita 2-sisi non-sepele, seperti untuk lapangan) dan di mana pusat cincin persis sama dengan lapangan. Misalnya, satu-satunya ekstensi bidang hingga dari bilangan real adalah bilangan kompleks, sedangkan quaternions adalah aljabar sederhana pusat di atas real, dan semua CSA di atas real setara Brauer ke real atau quaternions. CSA dapat digeneralisasikan lebih lanjut menjadi Azumaya aljabar, di mana bidang dasar diganti dengan gelanggang lokal komutatif.

Perpanjangan skalar

Dengan adanya ekstensi bidang, seseorang dapat "memperluas skalar" pada objek aljabar terkait. Misalnya, diberi ruang vektor nyata, seseorang dapat menghasilkan ruang vektor kompleks melalui kompleksifikasi. Selain ruang vektor, seseorang dapat melakukan ekstensi skalar untuk aljabar asosiatif yang ditentukan di atas bidang, seperti polinomial atau aljabar grup dan representasi grup terkait. Perpanjangan skalar polinomial sering digunakan secara implisit, dengan hanya mempertimbangkan koefisien sebagai elemen dari bidang yang lebih besar, tetapi juga dapat dipertimbangkan secara lebih formal. Ekstensi skalar memiliki banyak aplikasi, seperti yang dibahas di ekstensi skalar: aplikasi.

Lihat pula

Catatan

^ (Fraleigh 1976, hlm. 293)
^ (Herstein 1964, hlm. 167)
^ (McCoy 1968, hlm. 116)

Referensi

Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (edisi ke-2nd), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
Templat:Lang Algebra
McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225

Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Extension of a field", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] (Fraleigh 1976, hlm. 293)

[2] (Herstein 1964, hlm. 167)

[3] (McCoy 1968, hlm. 116)

[1]

[2]

[3]