Daftar deret matematika

Berikut adalah daftar deret matematika yang berisi tentang rumus untuk penjumlahan terhingga dan tak terhingga. Ini dapat digunakan bersama-sama dengan alat-alat lain untuk menghitung penjumlahan.

• Disini, $0^{0}$ dianggap memiliki nilai $1$
• $B_{n}(x)$ adalah polinomial Bernoulli.
• $B_{n}$ adalah bilangan Bernoulli, dan disini, $B_{1}=-{\frac {1}{2}}$,
• $E_{n}$ adalah bilangan Euler.
• $\zeta (s)$ adalah fungsi zeta Riemann.
• $\Gamma (z)$ adalah fungsi gamma.
• $\psi _{n}(z)$ adalah fungsi poligamma
• $\operatorname {Li} _{s}(z)$ adalah polilogaritma.
• ${\binom {n}{k}}$ adalah koefisien binomial
• $\exp(x)$ melambangkan eksponensial dari $x$

Penjumlahan pangkat

Lihat rumus Faulhaber

• $\sum _{k=0}^{m}k^{n-1}={\frac {B_{n}(m+1)-B_{n}}{n}}$

Beberapa nilai pertamanya adalahː

• $\sum _{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}$
• $\sum _{k=1}^{m}k^{2}={\frac {m(m+1)(2m+1)}{6}}={\frac {m^{3}}{3}}+{\frac {m^{2}}{2}}+{\frac {m}{6}}$
• $\sum _{k=1}^{m}k^{3}=\left[{\frac {m(m+1)}{2}}\right]^{2}={\frac {m^{4}}{4}}+{\frac {m^{3}}{2}}+{\frac {m^{2}}{4}}$

Lihat konstanta zeta.

• $\zeta (2n)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n}}}=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$

Beberapa nilai pertamanya adalahː

• $\zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (Masalah Basel)
• $\zeta (4)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}$
• $\zeta (6)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{6}}}={\frac {\pi ^{6}}{945}}$

Deret pangkat

Polilogaritma orde rendah

Penjumlahan terhingga

• $\sum _{k=i}^{n}z^{k}={\frac {z^{i}-z^{n+1}}{1-z}}$, (deret geometrik)
• $\sum _{k=1}^{n}kz^{k}=z{\frac {1-(n+1)z^{n}+nz^{n+1}}{(1-z)^{2}}}$
• $\sum _{k=1}^{n}k^{2}z^{k}=z{\frac {1+z-(n+1)^{2}z^{n}+(2n^{2}+2n-1)z^{n+1}-n^{2}z^{n+2}}{(1-z)^{3}}}$
• $\sum _{k=1}^{n}k^{m}z^{k}=\left(z{\frac {d}{dz}}\right)^{m}{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}$

Penjumlahan tak terhingga, sah untuk $\left|z\right|<1$ (lihat polilogaritma)

• $\operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}$

Berikut ini adalah sebuah sifat yang berguna untuk menghitung polilogaritma urutan bilangan bulat rendah secara rekursif dalam bentuk tertutup:

• ${\frac {d}{dz}}\operatorname {Li} _{n}(z)={\frac {\operatorname {Li} _{n-1}(z)}{z}}$
• $\operatorname {Li} _{1}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k}}=-\ln(1-z)$
• $\operatorname {Li} _{0}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }z^{k}={\frac {z}{1-z}}$
• $\operatorname {Li} _{-1}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }kz^{k}={\frac {z}{(1-z)^{2}}}$
• $\operatorname {Li} _{-2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}z^{k}={\frac {z(1+z)}{(1-z)^{3}}}$
• $\operatorname {Li} _{-3}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{3}z^{k}={\frac {z(1+4z+z^{2})}{(1-z)^{4}}}$
• $\operatorname {Li} _{-4}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{4}z^{k}={\frac {z(1+z)(1+10z+z^{2})}{(1-z)^{5}}}$

Fungsi eksponensial

• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}$
• $\sum _{k=0}^{\infty }k{\frac {z^{k}}{k!}}=ze^{z}$ (bandingkan rata-rata distribusi Poisson)
• $\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}{\frac {z^{k}}{k!}}=(z+z^{2})e^{z}$ (bandingkan momen kedua distribusi Poisson)
• $\sum _{k=0}^{\infty }k^{3}{\frac {z^{k}}{k!}}=(z+3z^{2}+z^{3})e^{z}$
• $\sum _{k=0}^{\infty }k^{4}{\frac {z^{k}}{k!}}=(z+7z^{2}+6z^{3}+z^{4})e^{z}$
• $\sum _{k=0}^{\infty }k^{n}{\frac {z^{k}}{k!}}=z{\frac {d}{dz}}\sum _{k=0}^{\infty }k^{n-1}{\frac {z^{k}}{k!}}\,\!=e^{z}T_{n}(z)$ dengan $T_{n}(z)$ adalah polinomial Touchard.

Fungsi trigonometrik, trigonometrik invers, hiperbolik, dan hiperbolik invers

• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\sin z$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\sinh z$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}=\cos z$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}=\cosh z$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(2^{2k}-1)2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\tan z,|z|<{\frac {\pi }{2}}$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2^{2k}-1)2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\tanh z,|z|<{\frac {\pi }{2}}$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\cot z,|z|<\pi$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\coth z,|z|<\pi$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(2^{2k}-2)B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\csc z,|z|<\pi$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-(2^{2k}-2)B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\operatorname {csch} z,|z|<\pi$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}E_{2k}z^{2k}}{(2k)!}}=\operatorname {sech} z,|z|<{\frac {\pi }{2}}$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {E_{2k}z^{2k}}{(2k)!}}=\sec z,|z|<{\frac {\pi }{2}}$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}=\operatorname {ver} z$ (versinus)
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}=\operatorname {hav} z$ (haversinus)
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!)^{2}(2k+1)}}=\arcsin z,|z|\leq 1$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!)^{2}(2k+1)}}=\operatorname {arcsinh} {z},|z|\leq 1$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{2k+1}}=\arctan z,|z|<1$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{2k+1}}=\operatorname {arctanh} z,|z|<1$
• $\ln 2+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(2k)!z^{2k}}{2^{2k+1}k(k!)^{2}}}=\ln \left(1+{\sqrt {1+z^{2}}}\right),|z|\leq 1$

Penyebut faktorial yang dimodifikasi

• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!}{2^{4k}{\sqrt {2}}(2k)!(2k+1)!}}z^{k}={\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-z}}}{z}}},|z|<1$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{2k}(k!)^{2}}{(k+1)(2k+1)!}}z^{2k+2}=\left(\arcsin {z}\right)^{2},|z|\leq 1$
• $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(4k^{2}+\alpha ^{2})}{(2n)!}}z^{2n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha \prod _{k=0}^{n-1}[(2k+1)^{2}+\alpha ^{2}]}{(2n+1)!}}z^{2n+1}=e^{\alpha \arcsin {z}},|z|\leq 1$

Koefisien binomial

• $(1+z)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}z^{k},|z|<1$ (lihat teorema binomial)
• $\sum _{k=0}^{\infty }{{\alpha +k-1} \choose k}z^{k}={\frac {1}{(1-z)^{\alpha }}},|z|<1$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k+1}}{2k \choose k}z^{k}={\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}},|z|\leq {\frac {1}{4}}$, menghasilkan fungsi bilangan Catalan
• $\sum _{k=0}^{\infty }{2k \choose k}z^{k}={\frac {1}{\sqrt {1-4z}}},|z|<{\frac {1}{4}}$, menghasilkan fungsi koefisien binomial pusat
• $\sum _{k=0}^{\infty }{2k+\alpha \choose k}z^{k}={\frac {1}{\sqrt {1-4z}}}\left({\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}}\right)^{\alpha },|z|<{\frac {1}{4}}$

Bilangan harmonik

(Lihat bilangan harmonik yang didefinisikan ${\textstyle H_{n}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{j}}}$)

• $\sum _{k=1}^{\infty }H_{k}z^{k}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},|z|<1$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k+1}}z^{k+1}={\frac {1}{2}}\left[\ln(1-z)\right]^{2},\qquad |z|<1$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}H_{2k}}{2k+1}}z^{2k+1}={\frac {1}{2}}\arctan {z}\log {(1+z^{2})},\qquad |z|<1$
• $\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{2n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}{\frac {z^{4n+2}}{4n+2}}={\frac {1}{4}}\arctan {z}\log {\frac {1+z}{1-z}},\qquad |z|<1$

Koefisien binomial

• $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}$
• $\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}=0,$ dengan $n\geq 1$
• $\sum _{k=0}^{n}{k \choose m}={n+1 \choose m+1}$
• $\sum _{k=0}^{n}{m+k-1 \choose k}={n+m \choose n}$ (lihat multihimpunan)
• $\sum _{k=0}^{n}{\alpha \choose k}{\beta \choose n-k}={\alpha +\beta \choose n}$ (lihat identitas Vandermonde)

Fungsi trigonometrik

Penjumlahan fungsi sinus dan kosinus muncul dalam deret Fourier.

• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(k\theta )}{k}}={\frac {\pi -\theta }{2}},0<\theta <2\pi$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos(k\theta )}{k}}=-{\frac {1}{2}}\ln(2-2\cos \theta ),\theta \in \mathbb {R}$
• $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin[(2k+1)\theta ]}{2k+1}}={\frac {\pi }{4}},0<\theta <\pi$,
• $B_{n}(x)=-{\frac {n!}{2^{n-1}\pi ^{n}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n}}}\cos \left(2\pi kx-{\frac {\pi n}{2}}\right),0<x<1$
• $\sum _{k=0}^{n}\sin(\theta +k\alpha )={\frac {\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}\sin(\theta +{\frac {n\alpha }{2}})}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}$
• $\sum _{k=0}^{n}\cos(\theta +k\alpha )={\frac {\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}\cos(\theta +{\frac {n\alpha }{2}})}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}$
• $\sum _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {\pi k}{n}}=\cot {\frac {\pi }{2n}}$
• $\sum _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {2\pi k}{n}}=0$
• $\sum _{k=0}^{n-1}\csc ^{2}\left(\theta +{\frac {\pi k}{n}}\right)=n^{2}\csc ^{2}(n\theta )$
• $\sum _{k=1}^{n-1}\csc ^{2}{\frac {\pi k}{n}}={\frac {n^{2}-1}{3}}$
• $\sum _{k=1}^{n-1}\csc ^{4}{\frac {\pi k}{n}}={\frac {n^{4}+10n^{2}-11}{45}}$

Fungsi rasional

• $\sum _{n=a+1}^{\infty }{\frac {a}{n^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2}}H_{2a}$
• $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+a^{2}}}={\frac {1+a\pi \coth(a\pi )}{2a^{2}}}$
• $\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}+4a^{4}}}={\dfrac {1}{8a^{4}}}+{\dfrac {\pi (\sinh(2\pi a)+\sin(2\pi a))}{8a^{3}(\cosh(2\pi a)-\cos(2\pi a))}}$
• Suatu deret tak terhingga dari setiap fungsi rasional $n$ dapat direduksi menjadi suatu deret terhingga dari fungsi poligamma, dengan menggunakan dekomposisi pecahan parsial. Fakta ini juga berlaku pada deret terhingga dari fungsi rasional, yang memungkinkan hasilnya dihitung dalam waktu konstanta bahkan jika deret tersebut memiliki banyak suku.

Fungsi eksponensial

• $\displaystyle {\dfrac {1}{\sqrt {p}}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left({\frac {2\pi in^{2}q}{p}}\right)={\dfrac {e^{\pi i/4}}{\sqrt {2q}}}\sum _{n=0}^{2q-1}\exp \left(-{\frac {\pi in^{2}p}{2q}}\right)$(lihat relasi Landsberg–Schaar)
• $\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi n^{2}}={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}$

Lihat pula

• Deret (matematika)
• Daftar integral
• Notasi Sigma § Identitas
• Deret Taylor
• Teorema binomial
• Deret Gregory
• On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Referensi

• Banyak buku-buku dengan sebuah daftar integral juga memiliki sebuah daftar deret.