Bukti bahwa e irasional

Templat:Konstanta matematika Bilangan e diperkenalkan oleh Jacob Bernoulli pada tahun 1683. Setengah abad kemudian, Euler (yang merupakan siswa adik Jacob, Johann) berhasil membuktikan bahwa e adalah bilangan irasional, atau dalam kata lain tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat.

Bukti Euler

Euler menulis bukti pertama irasionalitas e pada tahun 1737 (tetapi tulisannya baru diterbitkan tujuh tahun kemudian). Ia menghitung e sebagai pecahan berlanjut, yaitu:

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\ldots ,2n,1,1,\ldots ].$

Bukti Fourier

Bukti yang paling dikenal adalah reductio ad absurdum Joseph Fourier, yang didasarkan pada pernyataan berikut:

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\cdot$

Pada awalnya e diasumsikan sebagai bilangan rasional dengan bentuk ^a⁄_b. Perlu dicatat bahwa b tidak mungkin sama dengan satu karena e bukan bilangan bulat. Dari pernyataan di atas dapat ditunjukkan bahwa e hanya berada di antara 2 dan 3.

$2=1+{\tfrac {1}{1!}}\ \ <\ \ e=1+{\tfrac {1}{1!}}+{\tfrac {1}{2!}}+{\tfrac {1}{3!}}+\cdots \ \ <\ \ 1+(1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{3}}}+\cdots )\ \ =\ \ 3$

Bukti lain

Bukti lain dapat diperoleh dengan mencatat bahwa

$(b+1)x=1+{\frac {1}{b+2}}+{\frac {1}{(b+2)(b+3)}}+\cdots <1+{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+\cdots =1+x,$

Pernyataan berikut juga dapat dijadikan sebagai bukti:

${\frac {1}{e}}=e^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\cdot$

Lihat pula

• Teorema Lindemann–Weierstrass