Aljabar operator verteks

Dalam matematika, aljabar operator verteks (AOV) adalah struktur aljabar yang berperan penting dalam teori medan konformal dua dimensi dan teori string. Selain aplikasi fisik, aljabar operator verteks telah terbukti berguna dalam konteks matematika murni seperti monstrous moonshine dan korespondensi geometris Langlands.

Gagasan terkait verteks aljabar diperkenalkan oleh Richard Borcherds pada tahun 1986, dimotivasi oleh konstruksi aljabar Lie berdimensi-tak terbatas karena Igor Frenkel. Dalam proses konstruksi ini, seseorang menggunakan Fock space yang mengakui aksi operator simpul yang dilampirkan ke vektor kisi. Borcherds merumuskan pengertian aljabar puncak dengan melakukan aksioma hubungan antara operator simpul kisi, menghasilkan struktur aljabar yang memungkinkan seseorang untuk membangun aljabar Lie baru dengan mengikuti metode Frenkel.

Gagasan aljabar operator verteks diperkenalkan sebagai modifikasi dari pengertian aljabar verteks, oleh Frenkel, James Lepowsky, dan Arne Meurman pada tahun 1988, sebagai bagian dari proyek mereka untuk membangun aljabar monster verteks. Mereka mengamati bahwa banyak aljabar puncak yang muncul di alam memiliki struktur tambahan yang berguna (suatu aksi dari aljabar Virasoro), dan memenuhi sifat terikat-di bawah sehubungan dengan energi. Termotivasi oleh pengamatan ini, mereka menambahkan tindakan Virasoro dan properti terikat di bawah sebagai aksioma.

Kami sekarang memiliki motivasi post-hoc untuk gagasan ini dari fisika, bersama dengan beberapa interpretasi aksioma yang pada awalnya tidak diketahui. Secara fisik, operator simpul yang timbul dari penyisipan medan holomorfik pada titik-titik (yaitu, simpul) dalam teori medan konformal dua dimensi mengakui ekspansi produk operator ketika penyisipan, dan ini memenuhi secara tepat hubungan yang ditentukan dalam definisi aljabar operator titik. Memang, aksioma aljabar operator verteks adalah interpretasi aljabar formal dari apa yang oleh fisikawan disebut aljabar kiral, atau "aljabar simetris kiral", di mana kesimetrian ini menggambarkan identitas Lingkungan yang dipenuhi oleh teori medan konformal tertentu, termasuk invariansi konformal. Formulasi lain dari aksioma aljabar verteks termasuk karya Borcherds selanjutnya pada gelanggang komutatif tunggal, aljabar di atas operad tertentu pada kurva yang diperkenalkan oleh Huang, Kriz, dan lainnya, dan D-modul, objek teoretis yang disebut aljabar kiral yang diperkenalkan oleh Alexander Beilinson dan Vladimir Drinfeld. Meskipun berkerabat, aljabar kiral ini tidak persis sama dengan benda-benda dengan nama yang sama yang digunakan fisikawan.

Contoh dasar penting dari aljabar operator verteks termasuk AOV kisi (teori bidang konformal kisi pemodelan), VOA diberikan oleh representasi affine Kac – Moody aljabar s (dari WZW model), Virasoro VOA (yaitu, VOA terkait dengan representasi Virasoro aljabar) dan modul moonshine V^♮, yang dibedakan dari simetri monsternya. Contoh yang lebih canggih seperti affine W-aljabar s dan kompleks kiral de Rham pada lipatan kompleks muncul dalam teori representasi geometris dan fisika matematika.

Aljabar titik komutatif

Aljabar verteks V bersifat komutatif jika semua operator verteks saling bolak-balik. Ini sama dengan properti yang dimiliki semua produk Y(u,z)v pada V[[z]]. Dengan adanya aljabar puncak komutatif, konstanta perkalian memberikan ruang vektor dengan struktur cincin komutatif, dan T adalah turunan. Sebaliknya, setiap cincin komutatif V dengan derivasi T memiliki struktur aljabar simpul kanonik, tempat menetapkan Y(u,z)v = u_–1v z⁰ = uv. Jika penurunan T , maka menetapkan ω = 0 untuk mendapatkan aljabar operator puncak yang terkonsentrasi dalam derajat nol.

Setiap aljabar puncak berdimensi-hingga bersifat komutatif. Secara khusus, bahkan contoh terkecil dari aljabar verteks nonkomutatif memerlukan pengenalan yang signifikan.

Sifat dasar

Operator terjemahan T dalam aljabar verteks menginduksi kesimetrian yang sangat kecil pada struktur produk, dan memenuhi sifat berikut:

• Y(u,z)1 = e^zTu
• Tu = u_–21, jadi T ditentukan dari Y .
• Y(Tu,z) = d(Y(u,z))/dz
• e^xTY(u,z)e^−xT = Y(e^xTu,z) = Y(u,z+x)
• (kesimetrisan miring) Y(u,z)v = e^zTY(v,–z)u

Untuk aljabar operator verteks, operator Virasoro lainnya memenuhi sifat serupa:

• x^L₀Y(u,z)x^−L₀ = Y(x^L₀u,xz)
• e^xL₁Y(u,z)e^−xL₁ = Y(e^{x(1–xz)L₁}(1–xz)^−2L₀u,z(1–xz)⁻¹)
• (kuasi-konformitas) $[L_{m},Y(u,z)]=\sum _{k=0}^{m+1}{\binom {m+1}{k}}z^{k}Y(L_{m-k}u,z)$ for all m≥–1.
• Untuk u, v, w ∈ V, elemen

$X(u,v,w;z,x)\in V[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}]$

dalam definisi Y(Y(u,z–x)v,x)w in V((x))((z–x)).

Sifat asosiatif dari aljabar puncak mengikuti fakta bahwa komutator dari Y(u,z) dan Y(v,x) dimusnahkan oleh pangkat terbatas z - x , yaitu, seseorang dapat mengembangkannya sebagai kombinasi linear berhingga dari turunan fungsi delta formal di (z–x), dengan koefisien dalam End(V).

Rekonstruksi: Misalkan V menjadi aljabar puncak, dan maka {J^a} menjadi satu set vektor, dengan bidang yang sesuai J^a(z) ∈ End(V)[[z^±1]]. Jika V direntang oleh monomial dalam koefisien bobot positif dari bidang (yaitu, produk operator hingga J^a_n diterapkan ke 1, di mana n negatif), maka kita dapat menulis produk operator monomial seperti produk pesanan normal dari turunan pangkat terbagi bidang (di sini, urutan normal berarti istilah kutub di kiri dipindahkan ke kanan). Secara khusus,

$Y(J_{n_{1}+1}^{a_{1}}J_{n_{2}+1}^{a_{2}}...J_{n_{k}+1}^{a_{k}}1,z)=:{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial z^{n_{1}}}}{\frac {J^{a_{1}}(z)}{n_{1}!}}{\frac {\partial ^{n_{2}}}{\partial z^{n_{2}}}}{\frac {J^{a_{2}}(z)}{n_{2}!}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{k}}}{\partial z^{n_{k}}}}{\frac {J^{a_{k}}(z)}{n_{k}!}}:$

Lebih umum lagi, jika seseorang diberi ruang vektor V dengan endomorfisme T dan vektor 1, dan satu menetapkan ke satu himpunan vektor J^a satu himpunan bidang J^a(z) ∈ End(V)[[z^±1]] yang saling lokal, yang koefisien bobot positifnya menghasilkan V , dan yang memenuhi syarat identitas dan translasi, maka rumus sebelumnya menggambarkan struktur aljabar verteks.

Contoh

Contoh: boson bebas peringkat 1

Contoh dasar dari aljabar simpul nonkomutatif adalah boson bebas rank 1, juga disebut aljabar operator simpul Heisenberg. Maka "dihasilkan" oleh satu vektor b , dalam arti bahwa dengan menerapkan koefisien bidang b(z) = Y(b,z) ke vektor 1 , kami mendapatkan satu set rentang. Ruang vektor yang mendasari adalah gelanggang polinomial variabel tak terhingga C[x₁,x₂,...], dimana untuk positif n , koefisien b_–n dari Y(b,z) sebagai perkalian dengan x_n, dan b_n bertindak sebagai n kali turunan parsial dalam x_n. Aksi dari b₀ is perkalian dengan nol, menghasilkan representasi Fock 'momentum nol" V₀ dari aljabar Heisenberg Lie (dihasilkan oleh b_n untuk bilangan bulat n , dengan relasi pergantian [b_n,b_m]=n δ_n,–m), yaitu, diinduksi oleh representasi sepele dari subaljabar yang direntang oleh b_n, n ≥ 0.

Ruang Fock V₀ dapat dibuat menjadi aljabar verteks dengan rekonstruksi berikut:

$Y(x_{n_{1}+1}x_{n_{2}+1}x_{n_{3}+1}...x_{n_{k}+1},z)\equiv {\frac {1}{n_{1}!n_{2}!..n_{k}!}}:\partial ^{n_{1}}b(z)\partial ^{n_{2}}b(z)...\partial ^{n_{k}}b(z):$

dimana :..: menunjukkan urutan normal (yaitu memindahkan semua turunan dalam x ke kanan). Operator simpul juga dapat ditulis sebagai fungsi dari fungsi multivariabel f sebagai:

$Y[f,z]\equiv :f\left({\frac {b(z)}{0!}},{\frac {b'(z)}{1!}},{\frac {b''(z)}{2!}},...\right):$

jika kita memahami bahwa setiap suku dalam pemuaian f adalah urutan normal.

Peringkat n boson gratis diberikan dengan mengambil produk tensor n lipat dari peringkat 1 boson bebas. Untuk vektor apa pun b dalam n -ruang dimensi, memiliki bidang b(z) yang koefisiennya adalah elemen pangkat n aljabar Heisenberg, yang relasi pergantiannya memiliki suku perkalian dalam tambahan: [b_n,c_m]=n (b,c) δ_n,–m.

Contoh: Aljabar operator verteks Virasoro

Operator puncak Virasoro aljabar penting karena dua alasan: Pertama, elemen konformal dalam aljabar operator verteks secara kanonik menginduksi homomorfisme dari aljabar operator verteks Virasoro, jadi mereka memainkan peran universal dalam teori. Kedua, mereka terkait erat dengan teori representasi kesatuan dari aljabar Virasoro, dan ini memainkan peran utama dalam teori medan konformal. Secara khusus, model kesatuan Virasoro minimal adalah quotients sederhana dari aljabar verteks ini, dan produk tensornya memberikan cara untuk secara kombinatorial membangun aljabar operator verteks yang lebih rumit.

Aljabar operator puncak Virasoro didefinisikan sebagai representasi terinduksi dari aljabar Virasoro: Jika muatan pusat c , terdapat modul satu dimensi yang unik untuk subaljabar C[z]∂_z + K untuk itu K acts by cId, dan C[z]∂_z bertindak sepele, dan modul yang diinduksi terkait direntang oleh polinomial di L_–n = –z^−n–1∂_z karena rentang n di atas bilangan bulat lebih besar dari 1. Modul kemudian memiliki fungsi partisi

$Tr_{V}q^{L_{0}}=\sum _{n\in \mathbf {R} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 2}(1-q^{n})^{-1}$.

Ruang ini memiliki struktur aljabar operator verteks, di mana operator verteks didefinisikan oleh:

$Y(L_{-n_{1}-2}L_{-n_{2}-2}...L_{-n_{k}-2}|0\rangle ,z)\equiv {\frac {1}{n_{1}!n_{2}!..n_{k}!}}:\partial ^{n_{1}}L(z)\partial ^{n_{2}}L(z)...\partial ^{n_{k}}L(z):$

dan $\omega =L_{-2}|0\rangle$. Fakta bahwa bidang Virasoro L(z) bersifat lokal terhadap dirinya sendiri dapat disimpulkan dari rumus untuk komutator-sendiri:

$[L(z),L(x)]=\left({\frac {\partial }{\partial x}}L(x)\right)w^{-1}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-2L(x)x^{-1}{\frac {\partial }{\partial z}}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-{\frac {1}{12}}cx^{-1}\left({\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{3}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)$

di mana c adalah muatan pusat.

Diberikan homomorfisme aljabar verteks dari aljabar verteks Virasoro dari muatan pusat c ke aljabar verteks lainnya, operator simpul yang dilampirkan pada citra ω secara otomatis memenuhi hubungan Virasoro, yaitu citra ω adalah vektor konformal. Sebaliknya, setiap vektor konformal dalam aljabar verteks menginduksi homomorfisme aljabar verteks dibedakan dari beberapa aljabar operator verteks Virasoro.

Aljabar operator puncak Virasoro sederhana, kecuali jika c memiliki bentuk 1–6(p–q)²/pq untuk coprime integers p , q lebih besar dari 1 - ini mengikuti rumus determinan Kac. Dalam kasus luar biasa ini, seseorang memiliki ideal maksimal yang unik, dan hasil bagi yang sesuai disebut model minimal. Ketika p = q + 1, aljabar puncak adalah representasi kesatuan dari Virasoro, dan modulnya dikenal sebagai representasi deret diskrit. Mereka memainkan peran penting dalam teori medan konformal sebagian karena mereka sangat mudah diatur, dan untuk p kecil, mereka sesuai dengan sistem mekanika statistik yang terkenal pada saat kritis, misalnya, model Ising, model Ising tri-kritis, tiga-keadaan model Potts, dll. Oleh karya Weiqang Wang mengenai aturan fusi, kami memiliki deskripsi lengkap tentang kategori tensor model minimal kesatuan. Misalnya saat c=1/2 (Ising), ada tiga modul yang tidak dapat direduksi dengan L₀ 0, 1/2, dan 1/16, dan gelanggang fusinya adalah Z[x,y]/(x²–1, y²–x–1, xy–y).

Lihat pula

• Aljabar operator

Sumber

• Borcherds, Richard (1986), "Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 83: 3068–3071, Bibcode:1986PNAS...83.3068B, doi:10.1073/pnas.83.10.3068, PMC 323452 , PMID 16593694 
• Borisov, Lev A.; Libgober, Anatoly (2000), "Elliptic genera of toric varieties and applications to mirror symmetry", Inventiones Mathematicae, 140 (2): 453–485, arXiv:math/9904126 , doi:10.1007/s002220000058, MR 1757003 
• Frenkel, Edward; Ben-Zvi, David (2001), Vertex algebras and Algebraic Curves, Mathematical Surveys and Monographs (88), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2894-0 
• Frenkel, Igor; Lepowsky, James; Meurman, Arne (1988), Vertex operator algebras and the Monster, Pure and Applied Mathematics, 134, Academic Press, ISBN 0-12-267065-5 
• Kac, Victor (1998), Vertex algebras for beginners, University Lecture Series, 10 (edisi ke-2nd), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1396-X 
• Wang, Weiqiang (1993), "Rationality of Virasoro vertex operator algebras", Duke Math. J. IMRN, 71: 197–211 
• Xu, Xiaoping (1998), Introduction to vertex operator superalgebras and their modules, Springer, ISBN 079235242-4