Aljabar Bose–Mesner


Dalam matematika, aljabar Bose–Mesner merupakan himpunan khusus matriks yang muncul dari struktur kombinatorial yang dikenal sebagai skema asosiasi, Kaidah-kaidahnya menggabungkan (lebih tepatnya, membentuk hasil kali atau darab dari) matriks tersebut, sehingga membentuk aljabar asosiatif atau lebih tepatnya, aljabar komutatif uniter. Kaidah tersebut berbunyi:

  • Hasil dari suatu darab juga merupakan himpunan matriks,
  • ada matriks identitas dalam himpunan, dan
  • darab matriksnya adalah komutatif.

Aljabar Bose–Mesner dapat diterapkan ke dalam cabang fisika hingga model spin. Selain itu, aljabar ini juga dapat diterapkan ke dalam cabang statistika hingga desain eksperimen. Aljabar ini dinamai dari dua orang matematikawan yang bernama R. C. Bose dan Dale Marsh Mesner.[1]

Definisi

sunting

Misalkan X adalah himpunan elemen v dan misalkan partisi dari subhimpunan 2-anggota dari X adalah himpunan bagian takkosong n, R1, ..., Rn sehingga:

  • diberikan  , jumlah dari   sehingga   hanya bergantung pada i (dan bukan pada x). Bilangan ini akan dilambangkan dengan vi, dan
  • diberikan   dengan  , jumlah dari   sehingga   dan   hanya bergantung pada i, j dan k (dan bukan pada x dan y). Bilangan ini akan dilambangkan dengan  .

Struktur pada definisi tersebut dapat diperkuat dengan menambahkan semua pasangan elemen berulang X dan mengumpulkannya dalam himpunan bagian R0. Hal ini memungkinkan parameter i, j, dan k mengambil nilai nol, dan memisalkan untuk setiap x,y atau z adalah sama.

Himpunan dengan partisi yang diperkuat tersebut biasanya disebut skema asosiasi.[2] Seseorang dapat melihat skema asosiasi sebagai partisi dari tepi graf lengkap (dengan himpunan simpul X) ke dalam kelas-n yang biasanya dianggap sebagai kelas warna. Dalam representasi ini, terdapat gelung di setiap simpul dan semua gelung menerima warna ke-0 yang sama.

Skema asosiasi juga dapat direpresentasikan secara aljabar, dengan cara memisalkan Di adalah matriks yang didefinisikan sebagai:

 

Lalu, misalkan   adalah ruang vektor yang terdiri dari semua matriks   dengan kompleks  .[3][4] Maka, definisi dari skema asosiasi ekuivalen dengan pernyataan yang mengatakan bahwa   adalah v × v pada matriks-(0,1) yang memenuhi sifat berikut:

  1.   adalah simetris,
  2.   (semuanya adalah matriks satuan),
  3.  
  4.  

Entri ke-(x,y) dari ruas kiri 4 adalah jumlah dua jalur berwarna dengan panjang yang menghubungkan x dan y (menggunakan "warna" i dan j) dalam graf. Perhatikan bahwa baris dan kolom   mengandung 1 di  :

 

Sifat yang ke-1 mengatakan bahwa matriksnya adalah simetris. Sifat yang ke-2 mengatakan bahwa.   adalah bebas linear, dan dimensi   adalah  . Dan sifat yang keempat mengatakan bahwa   tertutup terhadap perkalian, dan perkaliannya selalu asosiatif. Aljabar komutatif   yang memiliki sifat asosiatif ini, disebut juga sebagai aljabar Bose–Mesner dari skema asosiasi. Karena matriks pada   adalah simetris dan bertukar satu sama lain, maka matriks tersebut dapat didiagonalisasi secara bersamaan. Artinya, ada matriks   sehingga untuk setiap  , terdapat matriks diagonal   dengan  . Hal ini mengartkan bahwa   adalah semi-sederhana dan memiliki basis unik dari idempoten primitif  . Matriks kompleks n × n ini memenuhi sifat-sifat berikut.

 
 
 

Aljabar Bose–Mesner memiliki dua basis yang berbeda. Yang kepertama, basisnya terdiri dari matriks idempoten  , dan yang kedua, basisnya terdiri dari matriks idempoten taktereduksikan  . Menurut definisi, ada bilangan kompleks yang terdefinisi dengan baik, sehingga

 

dan

 

Bilangan-p   dan bilangan-q   memainkan peran penting dalam teori.[3] Bilangan tersebut memenuhi kaitan ortogonalitas yang terdefinisi dengan baik. Bilangan-p adalah nilai eigen dari matriks kedampingan  .

Teorema

sunting

Nilai eigen dari   dan  , memenuhi syarat-syarat ortogonalitas. Syarat-syarat tersebut adalah

 
 

Dan juga,

 

Dalam notasi matriks,

 

dan

 

dengan   dan  

Bukti teorema

sunting

Nilai eigen dari   adalah   dengan perkalian  . Hal ini menyiratkan bahwa

 

yang membuktikan Persamaan   dan Persamaan  ,

 

yang memberikan Persamaan  ,   dan  . 

Ada analogi antara perluasan skema asosiasi dan perluasan dari Medan berhingga. Kasus yang paling menariknya adalah kasus dimana skema yang diperluas didefinisikan pada kuasa Kartesius ke-    dari satu himpunan   dimana skema asosiasi   dasar didefinisikan. skema asosiasi pertama yang didefinisikan pada   disebut kuasa Kronecker ke-    pada  . Selanjutnya ekstensi didefinisikan pada himpunan yang sama   dengan mengumpulkan kelas  . Kuasa Kronecker sesuai dengan gelanggang polinomial   yang pertama kali didefinisikan pada medan  , sedangkan skema ekstensi sesuai dengan medan ekstensi yang diperoleh sebagai hasil bagi. Contoh skema yang diperluas adalah skema Hamming.

Skema asosiasi dapat digabungkan, tetapi menggabungkan mereka mengarah ke skema asosiasi non-simetris, sedangkan semua kode biasa adalah subgrup dalam simetris skema Abelian.[3][4][5]

Lihat pula

sunting

Catatan

sunting

Referensi

sunting