Aksioma pemilihan

Dalam matematika, aksioma pemilihan, atau AC (axiom of choice), adalah sebuah aksioma dari teori himpunan yang setara dengan pernyataan bahwa hasil kali Kartesius dari kumpulan dari himpunan tidak kosong adalah himpunan tidak kosong pula. Ini menyatakan bahwa untuk setiap keluarga berindeks $(S_{i})_{i\in I}$ dari himpunan tidak kosong terdapat sebuah keluarga berindeks $(x_{i})_{i\in I}$ dari unsur-unsur tersebut sedemikian sehingga $x_{i}\in S_{i}$ untuk setiap $i\in I$. Secara sederhananya, aksioma pemilihan menyatakan bahwa apabila diberikan sebarang kumpulan wadah, dengan tiap-tiap wadah memuat setidaknya satu benda, maka dapat dipilih tepat satu benda dari tiap wadah, walaupun kumpulan tersebut tak hingga. Aksioma pilihan dirumuskan pada tahun 1904 oleh Ernst Zermelo dalam rangka untuk menyusun bukti teorema urutan rapi.

Ilustrasi dari aksioma pemilihan, dengan masing-masing S_i dan x_i direpresentasikan sebagai botol dan kelereng berwarna

(S_i) adalah keluarga berindeks pada bilangan real R; artinya, ada satu set S_i untuk setiap bilangan real i, dengan sampel kecil yang ditunjukkan di atas. Setiap himpunan berisi setidaknya satu, dan mungkin unsur-unsur yang tidak berhingga banyaknya. Aksioma pemilihan ini memungkinkan kita untuk secara sembarang untu memilih satu anggota dari masing-masing himpunan, membentuk sesuai keluarga anggota (x_i) yang juga diindeks di atas bilangan real, dengan x_i yang diambil dari Si. Secara umum, kumpulan tersebut dapat diindeks di atas setiap himpunan I, bukan hanya R.